OpenAI ประกาศความสำเร็จใช้ AI แก้โจทย์ Millennium Prize สมการ Navier–Stokes ได้สำเร็จ

เรากำลังแบ่งปันความสำเร็จในการค้นพบคำตอบของปัญหาการมีอยู่และความราบรื่นของ Navier–Stokes (Navier–Stokes existence and smoothness problem) ซึ่งเป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหา Millennium Prize ที่ยากที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ครั้งนี้สร้างขึ้นโดยระบบภายในของ OpenAI ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพลวัตของสมการ Navier-Stokes สำหรับการเคลื่อนที่ของของไหลสามารถเกิดภาวะเอกฐาน (singularity) ได้ในเวลาจำกัด โดยเราได้เผยแพร่ทั้งรายงานการพิสูจน์และการทำให้เป็นรูปแบบทางการในภาษา Lean

Millennium Prize Problems(opens in a new window) เป็นตัวแทนของคำถามที่ลึกซึ้งที่สุด ณ ขอบเขตของคณิตศาสตร์ โดยคำถามที่ว่าการเคลื่อนที่ของของไหลสามมิติแบบราบรื่นจะสามารถพังทลายลงได้หรือไม่นั้น เป็นปริศนาที่ยังไม่ได้รับการคลี่คลายมานานกว่า 90 ปี

เป้าหมายหลักของงานนี้คือการเสริมศักยภาพให้นักวิทยาศาสตร์ก้าวหน้าในการวิจัยและเทคโนโลยีที่เป็นประโยชน์ต่อมนุษยชาติ เพื่อแก้ปัญหา Navier–Stokes เราได้ใช้โมเดลภายในที่มีความสามารถสูงกว่า GPT‑6 Astra อย่างมีนัยสำคัญ เราเชื่อว่าการแจ้งให้โลกทราบถึงความเร็วของความก้าวหน้าของ AI และสิ่งที่คาดหวังได้จากโมเดลรุ่นต่อๆ ไปถือเป็นสิ่งสำคัญ

สมการ Navier–Stokes ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน (“F=ma”) เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล โดยสมการเหล่านี้ถือว่าของไหลเป็นตัวกลางที่ต่อเนื่องแทนที่จะติดตามโมเลกุลแต่ละตัว ซึ่งถูกนำไปใช้ในหลายด้าน ตั้งแต่การออกแบบเครื่องบิน การพยากรณ์อากาศ ไปจนถึงการศึกษาการไหลของเลือด

คำถามสำคัญคือข้อสันนิษฐานเรื่องความต่อเนื่องของของไหลนี้สามารถพังทลายลงได้หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในของไหลที่อัดไม่ได้ในสามมิติที่มีความหนาแน่นคงที่ จะสามารถพัฒนาเป็น “ภาวะเอกฐาน” (singularity) ได้หรือไม่ แม้การเคลื่อนที่จะเริ่มต้นอย่างราบรื่นก็ตาม ภาวะเอกฐานในที่นี้หมายถึงความเร็วของของไหลที่เพิ่มขึ้นอย่างไร้ขอบเขตในเวลาจำกัด ซึ่งหากเกิดขึ้นจริงจะถือเป็นการพังทลายของวิธีการจำลองของไหลด้วยสมการ และจำเป็นต้องเปลี่ยนไปติดตามพฤติกรรมของแต่ละอนุภาคแทน

สมการนี้มีประวัติย้อนไปถึงศตวรรษที่ 19 จากผลงานของ Claude-Louis Navier และ George Gabriel Stokes ต่อมาในปี 1934 Jean Leray ได้พิสูจน์ว่าคำตอบนั้นมีอยู่จริงในความหมายทั่วไป แต่ความราบรื่นของคำตอบยังคงเป็นคำถามหลัก จนกระทั่งในปี 2000 Clay Mathematics Institute ได้ประกาศให้ปัญหานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหา Millennium Prize

ระบบของเราได้สร้างการพิสูจน์เชิงวิเคราะห์และการพิสูจน์ในภาษา Lean ว่าของไหลที่เดิมราบรื่นและหยุดนิ่งสามารถพัฒนาภาวะเอกฐานในเวลาจำกัดได้ภายใต้แรงกระทำที่ราบรื่น โดยพลังงานยังคงมีค่าจำกัดตลอดกระบวนการ สิ่งนี้คลี่คลายปัญหา Navier–Stokes Millennium Prize โดยการยืนยันข้อความ “C” (และรวมถึง “D”) ใน official Millennium Prize formulation(opens in a new window)

คำตอบที่ค้นพบคือ vortex หรือน้ำวนที่หมุนเกลียวเข้าด้านในและยาวขึ้นเรื่อยๆ คล้ายเส้นสปาเก็ตตี้ โดยบริเวณส่วนกลางจะหดตัวลงพร้อมเร่งความเร็วขึ้นในขณะที่พลังงานยังคงมีค่าจำกัด ความท้าทายทางเทคนิคคือการทำให้สมการพัฒนาการพังทลายผ่านการเคลื่อนที่ของของไหลเอง แทนที่จะเป็นการใส่แรงภายนอกเข้าไป ซึ่งต้องอาศัยสมดุลที่ละเอียดอ่อนของพจน์ต่างๆ ในสมการที่ต้องมีขนาดใหญ่แต่หักล้างกันอย่างแม่นยำ

ภาพจำลองของการเคลื่อนที่แบบอัดไม่ได้เฉพาะจุด สีส้มแสดงถึงการหมุนเชิงมุมที่เร็วขึ้น สีฟ้าอมเขียวแสดงถึงการหมุนที่ช้าลง ความเร็วในการไหลเวียนยังขึ้นอยู่กับรัศมีด้วย เส้นทางการเคลื่อนที่แสดงการหมุนเกลียวเข้าด้านในและการยืดตัวตามแนวแกน

นับตั้งแต่วันที่ 28 สิงหาคม เราได้ฝึกฝนโมเดลภายในรุ่นใหม่ที่แสดงประสิทธิภาพยอดเยี่ยมในระดับที่ไม่เคยมีมาก่อน รวมถึงด้านคณิตศาสตร์ โดยการฝึกฝนและพัฒนาประสิทธิภาพยังคงดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง

เมื่อวันที่ 1 กันยายน หลังจากได้ยินข่าวลือว่าปัญหา Millennium Prize สองปัญหาอาจได้รับการคลี่คลาย ประกอบกับเห็นการก้าวกระโดดของโมเดลรุ่นใหม่ เราจึงเริ่มประเมินประสิทธิภาพของมันกับปัญหา Millennium Prize ที่เหลืออยู่ทั้งหมดรวมถึงปัญหาสำคัญอื่นๆ

เราใช้ระบบตัวแทนประสานงาน (coordinating agents) ที่ขับเคลื่อนด้วยโมเดลภายใน ซึ่งสามารถเข้าถึงเครื่องมืออย่างการอ่านอินเทอร์เน็ตเวอร์ชันแคชและการรันโค้ด โดยกลุ่มที่แก้ปัญหา Navier–Stokes ประกอบด้วยตัวแทนประมาณ 10,000 ตัวที่ทำงานพร้อมกันภายใต้มาตรการป้องกันและการเฝ้าติดตามที่เข้มงวด

ในการทดสอบ เราได้ให้ prompt แก่กลุ่มตัวแทนด้วยรูปแบบคำถามที่หลากหลาย สำหรับปัญหา Navier–Stokes เราได้เสนอทั้งเวอร์ชัน “A” และ “B” (ที่นำไปสู่การพิสูจน์) รวมถึงเวอร์ชัน “C” และ “D” (ที่นำไปสู่การหักล้าง) ให้กับกลุ่มตัวแทนที่แยกจากกัน

นอกจากโจทย์เต็มแล้ว เรายังให้ระบบลองแก้ปัญหาที่ “ง่ายกว่า” อย่างปัญหาความสม่ำเสมอ (regularity problem) ของสมการ Euler ซึ่งตัวแทนประมาณ 100 ตัวสามารถหักล้างความสม่ำเสมอในเวอร์ชัน unforced (ไม่มีแรงภายนอก) ได้สำเร็จภายใน 50 ชั่วโมง1

เมื่อเห็นผลลัพธ์ของ Euler เราจึงทุ่มทรัพยากรไปที่ Navier–Stokes โดยย้ายตัวแทนจากปัญหาอื่นมาช่วย และให้ข้อมูลผลเฉลยของ Euler เป็นแนวทาง พร้อมทั้งอัปเดตตัวแทนเป็นโมเดลรุ่นล่าสุดที่ผ่านการฝึกฝนเพิ่มเติมในระหว่างกระบวนการ

เราสนับสนุนให้กลุ่มตัวแทนสำรวจแนวทางที่หลากหลาย และมีการแลกเปลี่ยนข้อมูลเชิงลึกข้ามกลุ่ม (cross-pollinated) โดยใช้ Codex เพื่อรวบรวมแนวคิดที่มีประโยชน์ที่สุด จนกระทั่งกลุ่มที่พบคำตอบของ Navier–Stokes ได้รับการแนะนำแนวทางจนประสบความสำเร็จ

ตัวแทนบรรลุข้อยุติในวันเสาร์ที่ 5 กันยายน หลังเริ่มทำงานไปประมาณ 88 ชั่วโมง จากนั้นจึงใช้เวลาอีก 17 ชั่วโมงในการทำให้เป็นรูปแบบ Lean และตรวจสอบผ่าน GPT‑6 Astra

ตลอดกระบวนการแก้ปัญหาทั้งหมด ตัวแทนส่งข้อความไป 4.9 ล้านข้อความและใช้โทเคนขาออก (output tokens) ประมาณ 3 แสนล้านโทเคน เฉพาะส่วนของ Navier–Stokes มีการส่งข้อความ 2.7 ล้านข้อความและใช้ไปประมาณ 1.3 แสนล้านโทเคน

ความพยายามนี้เริ่มขึ้นหลังทราบข่าวลือเกี่ยวกับงานของ Levent Alpöge จาก Anthropic และ Tristan Buckmaster จาก NYU ซึ่งภายหลังพบว่าพวกเขามีผลเฉลยของปัญหา forced Euler เราได้ติดต่อพวกเขาเพื่อเสนอการเผยแพร่ผลงานร่วมกันและยอมรับในลำดับความสำคัญของงานของพวกเขาในส่วนของ forced Euler พร้อมแสดงความยินดีกับความสำเร็จดังกล่าว

เรายืนยันว่านักวิจัยและตัวแทน AI ของเราไม่เห็นงานของพวกเขาจนกว่าจะมีการเผยแพร่ต่อสาธารณะ แม้ว่าข้อมูลที่ไม่ระบุตัวตนจากการใช้งานผลิตภัณฑ์อาจมีส่วนช่วย improve our models แต่การพิสูจน์ของเรามีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญในเชิงคณิตศาสตร์

เป้าหมายในการเผยแพร่ครั้งนี้คือเพื่อรายงานความก้าวหน้าของโมเดล AI ของเรา โดยเราไม่ได้มีเจตนาที่จะรับรางวัล Millennium Prize สำหรับผลลัพธ์ที่ได้นี้

ก้าวสำคัญนี้เป็นผลจากความร่วมมือของนักคณิตศาสตร์และนักวิจัย AI แต่นี่ไม่ใช่จุดสูงสุด เป็นเพียงภาพสะท้อนหนึ่งในเส้นทางการพัฒนา AI เท่านั้น

We believe we are now in the next period of AI progress และผลลัพธ์ในวันนี้คือข้อพิสูจน์ เรากำลังมุ่งเน้นที่การทำความเข้าใจโมเดลนี้เพื่อกำหนดทิศทางของขีดความสามารถในอนาคต โดยหนึ่งใน key goals is to build AI systems which are steerable, accountable, and connected to people, which may require more deliberate choices about the pace of progress, as we continue our mission to ensure AGI benefits all of humanity.